[코테] # 6. 이진 탐색

동빈나의 이코테 강의를 듣고 작성한 포스트입니다.

 

이진 탐색은 리스트 내에서 데이터의 탐색 범위를 반으로 좁혀가며 빠르게 탐색하는 알고리즘이다.

 

순차 탐색

가장 기본 탐색 방법인 순차 탐색은, 리스트 안에 있는 특정한 데이터를 찾기 위해서 앞에서부터 데이터를 하나씩 차례로 확인하는 방법이다. 보통 정렬되지 않은 리스트에서 데이터를 찾을 때 사용한다.

데이터 정렬 여부와 상관없이 가장 앞에 있는 원소부터 하나씩 확인한다.

데이터의 개수가 N개일 때, 최대 N번의 비교 연산이 필요하므로 순차 탐색의 최악의 경우 시각 복잡도는 O(N)이다.

 

이진 탐색

배열의 데이터가 정렬되어 있어야만 이진 탐색을 사용할 수 있다. 이진 탐색은 탐색 범위를 절반씩 좁혀가며 데이터를 탐색한다.

이진 탐색은 위치를 나타내는 변수 3개를 사용하는데, 탐색하고자 하는 범위의 시작점, 끝점, 중간점이다. 찾으려는 데이터와 중간점에 있는 데이터를 반복적으로 비교해서 원하는 데이터를 찾는다.

이진 탐색은 한 번 확인할 때마다 확인하는 원소의 개수가 절반씩 줄어든다는 점에서 시간 복잡도가 O(logN)이다. 절반씩 데이터를 줄어들도록 만든다는 점은 퀵 정렬과 공통점이 있다.

 

이진 탐색은 재귀 함수를 이용하거나 단순하게 반복문을 이용해서 구현할 수 있다.

 

재귀 함수 구현

# 이진 탐색 구현 (재귀 함수)

def binary_search(array, target, start, end):
    if start > end:
        return None
    mid = (start + end) // 2 # 중간점
    # 찾은 경우 중간점 인덱스 반환
    if array[mid] == target:
        return mid
    # 중간점의 값보다 찾고자 하는 값이 작은 경우 왼쪽 확인
    elif array[mid] > target:
        return binary_search(array, target, start, mid - 1)
    # 중간점의 값보다 찾고자 하는 값이 큰 경우 오른쪽 확인
    else:
        return binary_search(array, target, mid + 1, end)


# n(원소의 개수)과 target(찾고자 하는 값)을 입력 받기
n, target = list(map(int, input().split()))
# 전체 원소 입력 받기
array = list(map(int, input().split()))

# 이진 탐색 수행 결과 출력
result = binary_search(array, target, 0, n - 1)
if result == None:
    print('원소가 존재하지 않습니다.')
else:
    print(result + 1)

반복문 구현

# 이진 탐색 구현 (반복문)

def binary_search(array, target, start, end):
    while start <= end:
        mid = (start + end) // 2
        # 찾은 경우 중간점 인덱스 반환
        if array[mid] == target:
            return mid
        # 중간점의 값보다 찾고자 하는 값이 작은 경우 왼쪽 확인
        elif array[mid] > target:
            end = mid - 1
        # 중간점의 값보다 찾고자 하는 값이 큰 경우 오른쪽 확인
        else:
            start = mid + 1
    return None

# n(원소의 개수)과 target(찾고자 하는 값)을 입력 받기
n, target = list(map(int, input().split()))
# 전체 원소 입력 받기
array = list(map(int, input().split()))

# 이진 탐색 수행 결과 출력
result = binary_search(array, target, 0, n - 1)
if result == None:
    print('원소가 존재하지 않습니다.')
else:
    print(result + 1)

 

코딩 테스트의 이진 탐색 문제는 탐색 범위가 큰 상황에서의 탐색을 가정하는 문제가 많다. 

탐색 범위가 2,000만을 넘어가거나 처리해야 할 데이터의 개수나 값이 1,000만 단위 이상으로 넘어가면 이진 탐색과 같이 O(logN)의 속도를 내야 하는 알고리즘을 떠올리자.

 

트리 자료구조

이진 탐색의 전제 조건은 데이터 정렬인데, 동작하는 프로그램은 데이터를 정렬해두는 경우가 많으므로 이진 탐색이 효과적이다. 데이터베이스는 트리 자료구조를 이용하여 항상 데이터가 정렬되어 있다. 따라서 데이터베이스에서의 탐색은 이진 탐색과 유사한 방법을 이용해 탐색을 빠르게 수행하도록 설계되어 있다.

트리 자료구조는 데이터 자료구조의 일종으로서 많은 양의 데이터를 관리하기 위한 목적으로 사용된다.

큰 데이터를 처리하는 소프트웨어는 대부분 트리 자료구조로 저장해서 이진 탐색과 같은 탐색 기법을 이용해 빠르게 탐색이 가능하다.

 

이진 탐색 트리

이진 탐색트리는 다음과 같은 특징을 가진다.

• 부모 노드 > 왼쪽 자식 노드
• 부모 노드 < 오른쪽 자식 노드
• 즉, 왼쪽 자식 노드 < 부모 노드 < 오른쪽 자식 노드를 성립한다.

빠르게 입력받기 - readline()

이진 탐색 문제는 입력 데이터가 많거나, 탐색 범위가 매우 넓다. 입력 데이터의 개수가 많은 문제에 input()을 사용하면 시간 초과로 오답 판정을 받을 수 있다. 입력 데이터가 많은 문제는 sys 라이브러리의 readline() 함수를 이용하면 시간 초과를 피할 수 있다. 

import sys

input_data = sys.stdin.readline().rstrip()

 

이진 탐색 기초 문제 풀이

실전 문제: 부품 찾기

[문제 상황]

동빈이네 전자 매장에는 부품이 N개 있다. 각 부품은 정수 형태의 고유한 번호가 있다.

어떤 손님이 M개 종류의 부품의 견적서를 요청했다. 동빈이는 M개 종류를 모두 확인해서 부품의 재고가 있으면 yes, 없으면 no를 출력한다.

 

[문제 조건]

난이도	●◐○
풀이시간	30분
시간 / 메모리 제한	1초 / 128MB

 

[입력 조건]

• 첫째 줄에 정수 N이 주어진다. (1 <= N <= 1,000,000)
• 둘째 줄에는 공백으로 구분하여 N개의 정수가 주어진다. (1 < 정수 <= 1,000,000)
• 셋째 줄에는 정수 M이 주어진다. (1 <= N <= 1,000,000)
• 넷째 줄에는 공백으로 구분하여 M개의 정수가 주어진다. (1 < 정수 <= 1,000,000)

[출력 조건]

• 첫째 줄에 공백으로 구분하여 각 부품이 존재하면 yes, 없으면 no를 출력한다. 

이진 탐색 풀이

N  = int(input())
stock = list(map(int, input().split()))

M  = int(input())
customer = list(map(int, input().split()))

stock.sort()

def binary_search(array, start, end, target):
    if start > end:
      return None
    mid = (start + end) // 2
    if array[mid] == target:
       return mid
    elif array[mid] > target:
       return binary_search(array, start, mid - 1, target)
    else:
       return binary_search(array, mid + 1, end, target)
           
for i in customer:
    target_idx = binary_search(stock, 0, N-1, i)
    if target_idx:
       print('yes')
    else:
       print('no')

실전 문제: 떡볶이 떡 만들기

[문제 상황]

동빈이네 떡볶이 떡은 떡의 길이가 일정하지 않다. 대신, 한 봉지에 들어가는 떡의 총 길이는 절단기로 잘라서 맞춘다.

절단기에 높이(H)를 지정하면 줄지어진 떡을 한 번에 절단한다. 높이가 H보다 긴 떡은 H 윗 부분이 잘릴 것이고, 낮은 떡은 잘리지 않는다.

예를 들어 높이가 19, 14, 10, 17인 떡이 나란히 있고 절단기 높이를 15cm로 지정하면 자른 뒤 떡의 높이는 15, 14, 10, 15cm가 된다. 잘린 떡의 길이는 차례로 4, 0, 0, 2cm이며 손님은 6cm만큼의 길이를 가져간다.

손님이 왔을 때 요청한 총 길이가 M일 때, 적어도 M만큼의 떡을 얻기 위해 절단기에 설정할 수 있는 높이의 최댓값을 구하는 프로그램을 작성하시오.

[문제 조건]

난이도	●●○
풀이시간	40분
시간 / 메모리 제한	2초 / 128MB

 

[입력 조건]

• 첫째 줄에 떡의 개수 N과 요청한 떡의 길이 M이 주어진다. (1 <= N <= 1,000,000, 1 <= M <= 2,000,000,000)
• 둘째 줄에는 떡의 개별 높이가 주어진다. 떡 높이의 총합은 항상 M 이상이므로, 손님은 필요한 양만큼 떡을 사갈 수 있다. (0 < 높이 <= 10억)

[출력 조건]

• 적어도 M만큼의 떡을 집에 가져가기 위해 절단기에 설정할 수 있는 높이의 최댓값을 출력한다.

- 입력 예시

4 6
19 15 10 17

- 출력 예시

15

[문제 해결 아이디어]

절단기의 높이 H가 매우 큰 수이므로, 이진 탐색을 가장 먼저 떠올려야 한다. H를 이진 탐색으로 찾는다면, 대략 31번 만에 경우의 수를 모두 고려할 수 있다.

1. 시작점은 0, 끝점은 가장 긴 떡의 길이로 설정한다. 0과 19 사이의 중간점 9를 절단기 높이 H로 설정하면 얻을 수 있는 떡의 합은 (10 + 6 + 1 + 8) = 25이다. 필요한 떡의 길이가 6보다 크므로 시작점을 증가시킨다.
2. 시작점을 10으로 옮긴다. 끝점은 여전히 19이므로 중간점은 14이다. 그러면 얻을 수 있는 떡의 합은 (5 + 1 + 0 + 3) = 9이다. 필요한 떡의 길이가 6보다 크므로 시작점을 증가시킨다.
3. 시작점을 15으로 옮긴다. 끝점은 여전히 19이므로 중간점은 17이다. 그러면 얻을 수 있는 떡의 합은 (2 + 0 + 0 + 0) = 2이다. 필요한 떡의 길이가 6보다 작으므로 끝점을 감소시킨다.
4. 끝점을 16으로 옮긴다. 현재 시작점은 15, 끝점은 16, 중간점은 15이므로, 얻을 수 있는 떡의 합은 (4 + 2) = 6이다. 필요한 떡의 길이와 동일하다.

중간점의 값은 시간이 지날수록 '최적화된 값'을 찾기 때문에, 과정을 반복하면서 '얻을 수 있는 떡의 길이 합'이 '필요한 떡의 길이'보다 크거나 같을 때마다 결괏값을 중간값으로 갱신해주면 된다.

또한 이 문제에서는 현재 얻을 수 있는 떡의 양에 따라 자를 위치를 결정해야 하므로 재귀적 구현은 귀찮은 작업이 될 수 있다. 반복문으로 구현하는 것이 더 간결하다.

이진 탐색 풀이

N, M = map(int, input().split())

array = list(map(int, input().split()))

# 이진 탐색을 위한 시작점과 끝점
start = 0
end = max(array)

# 이진 탐색 수행
result = 0

while (start <= end):
    total = 0
    mid = (start + end) // 2
    for x in array:
        # 잘랐을 때 떡의 양 계산
        if x > mid:
            total += x - mid

    # 떡의 양이 부족한 경우 더 많이 자르기 (왼쪽 부분 탐색)
    if total < M:
        end = mid - 1
    # 떡의 양이 충분한 경우 덜 자르기 (오른쪽 부분 탐색)
    else:
        result = mid # 최대한 덜 잘랐을 때가 정답이므로, 여기서 result에 기록
        start = mid + 1
    
print(result)